隨堂練習 07-1 Are Math Students Strange?

題目敘述與分數比率

馬可夫矩陣或是馬可夫鏈可以代表一連串狀態轉移的機率，舉例來說，若數學系學生今年正常變成明年怪怪的機率是 0.7，維持正常的機率是 0.3；從怪怪的變成正常的機率是 0.1，維持怪怪的機率是 0.9；則當給定一個今年怪怪的數學系學生的時候：

• 一年後：怪怪的機率是 0.9，正常的機率是 0.1
• 兩年後：怪怪的機率是 0.9 * 0.9 + 0.1 * 0.7，正常的機率依此類推

這個問題就可以用馬可夫矩陣描述。我們可以讓 v 向量（row vector，下同）的第一個元素代表數學系學生今年正常的機率，第二個元素代表今年怪怪的機率，而轉移矩陣 P 的 P_0,0 代表今年正常、明年也正常的機率；P_0,1 則代表今年正常、明年怪怪的機率。反之 P_1,0 與 P_1,1 代表已知今年怪怪的，明年正常與怪怪的機率。

因此，隔年正常或怪怪的機率就可以用 v * P 來計算、兩年後正常或怪怪的機率就可以用 v * P² 來計算，k 年後則可以用 v * P^k 來計算。若狀態不只正常或怪怪兩種，一樣可以將每一種狀態的轉移機率建立成 n-by-n 的轉移矩陣，並且將初始狀態乘以之，就可以得到新的狀態。

本題要請你撰寫一個函式（名稱自訂）輸入參數依序是上述的向量 v、矩陣 P，以及一個正整數 k，請回傳 v * P^k 的結果。

注意事項

• 本題允許使用 numpy 進行向量與矩陣之相關運算。