本篇將以終極密碼和勘根定理兩個範例，來做為迴圈語法的應用展示。

終極密碼的遊戲目標是，給定一個上下界，讓大家猜出該範圍內的數字。而在遊戲過程中，上下界會隨著大家猜想的數字變化，而愈來愈縮小範圍，直至有人猜中為止。以下是完整程式碼：

low = 1
high = 100
pwd = 35

while True:
	guess = int(input('Please enter a number within [{}, {}]:'.format(low, high)))

	if guess == pwd:
		print('You got it!')
		break
	elif guess < pwd:
		low = max(guess+1, low)
	elif guess > pwd:
		high = min(guess-1, high)

在上述範例中：

• 密碼是事先寫死的。若你想要改用亂數產生，可以參考 random 模組。
• 「while True:」代表迴圈永遠會執行，因此你若希望在猜中後結束遊戲，需要用「break」跳出迴圈。
• 範例設計為密碼有可能剛好是上界或下界。你如果有其他設計，必須自行修改程式碼。

高中學過的勘根定理，也可以用迴圈來實做。勘根定理告訴我們，如果函數 f 是連續的，且 f(a) * f(b) ≤ 0，則 [a, b] 之間至少有一根。求根的步驟如下：

1. 找一個區間 [a, b]，使 f(a) 和 f(b) 異號
2. 求 a, b 中點 c，並求 f(c)
3. 如果 f(a) 和 f(c) 同號，則取 c 為新左界，否則取 c 為新右界
4. 重複 2 和 3，至夠精確為止

以下範例，會展示如何找出 x⁵ - x - 1 = 0 在 (-0.5, 1.5) 之間的某一根：

def f(x):
	return x ** 5 - x - 1


a = -0.5
b = 1.5

fa = f(a)
fb = f(b)
while True:
	c = (a + b) / 2
	fc = f(c)

	if abs(fc) < 1e-5:
		print(c, abs(fc))
		break
	elif fa * fc > 0:
		a = c
	else:
		b = c

在上述範例中：

• 數字已經過是先設計，保證該方程式在該範圍內恰有一根。
• 你可以利用 Google、matplotlib.pyplot 模組，或其他方式畫圖，觀察看看範例結果是否與圖形相符。
• 我們只需要關心左界和右界的函數值的正負號，而不用關心實際的函數值，因此不需要反覆計算新的 f(a) 與 f(b)。